From Axiom

0. 即使是現在，還是有一些人難以接受0.999... = 1的事實，或是雖然知道理論上是那樣，但心理不平衡。

事實上wiki有很詳盡的介紹，網路上影片也很多，不過反正我想要試著，自己解釋一次。

就當作小說看看吧，也許裡面會有一些新奇的東西。數學好的就不用進來了真的OA O(?

0.5 本篇所有的0.999...，都表示9在小數點後面無限循環。

1. 首先，肥鵝要先說一些基本概念。

實數：除了虛數之外一切你認識的純數字。自然數、0、負數、分數、有限小數、無限循環小數、無限不循環小數，通通都算是實數。

無限大：無限大並不是個數字，他只是個概念，比一切實數還要大的東西。無限大不能作加減乘除，因為他只是概念不是數字。

無限小：無限小也不是個數字，不算負數的話，比一切正實數還要小的東西。雖然只是概念，以實數來說，如果你理解無限小就是0，這樣是沒錯的。

無限小數：無論有沒有規則，小數點後有數不完的數字。無限小數沒有最後一位數這種東西，即使每一位數你都叫得出來是哪個數字。無限小數的位數會一直增加是錯誤的想像。無限小數就是有無限位數，不多不少，其實根本不能用多少來形容。

有限：所有數字都是有限的。有限和無限有根本上的差別，有限不可能等於無限，無限大比所有的有限還要大。

2. 接著，肥鵝要提到一些有關實數的性質，雖然這篇不見得會全用上。你以為你很了解實數嗎OW O

無限小數：所有的實數都一定能寫成XXX.XXXXXX.....；反過來說長那個樣子的數字就是實數。

體(Field)：所有的實數都能加減乘除(除了0不能除)，有結合率交換率分配律，而且算出來的結果還是個實數(廢話，兩個數字相加還能不是數字嗎)。

阿基米德原理：沒有無窮大或無窮小的的實數。再小的檔案，再大的硬碟，只要檔案數夠多一定能把硬碟撐爆。

稠密性：任何兩個不同實數中間，一定有其他的實數。所以實數感覺上是密密麻麻的。

完備性：一個比稠密性更稠密的東西。稠密性就像巧克力粉，雖然很密，中間還有一些空隙；完備性根本就是一整塊巧克力，沒有任何縫隙。

3. 再來，肥鵝要說明什麼是無窮數列的極限值。

舉這個數列為例好了：1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ... 每一項都是前一項的十分之一。

那麼以下兩個說法等價正確。請注意其中用字的不同。

這個數列正在接近0，即使這個數列中沒有一項是0，總是差一點點。

這個數列的極限值是0，就是0，毫無疑問的0。

極限值既然不一定要等於這個數列的任何一項，照道理來說極限值也不一定要是個數字。不過在實數裡，可以根據實數的完備性，證明(收斂)數列的極限值必定存在(其實不用證，因為這就是完備性的原始定義)。就當成極限值一定也是個實數就對了。

4. 然後，肥鵝才能說明0.999...到底是什麼東西

0.999...是這個數列的極限值：0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, ... 每一項都比前一項多一個9

0.999...並不屬於上面的任何一項，畢竟沒有第無限項這種東西。這個數列沒有一個數字能夠表示0.999...。

因為這是個實數數列，所以作為極限值，0.999...是個實際存在的數字。

雖然這是正式定義，但肥鵝不太建議用數列去想像0.999...，畢竟數列中沒有一項能代表極限值，有限和無限有根本上的差別。

5. 在證明0.999... = 1之前，釐清幾個容易混淆的觀念。

* 0.999...是個定值，不是某個進行中的數列。0.999...的位數不會增長，就是恰巧無限多位。0.999...的值當然也不會浮動。說到底0.999...不過就是個無窮循環小數，是實數之一，當然也是個數字。

* 0.999...可以加減乘除。0.333...也可以。因為他們都是實數，只要是個數字就沒道理不能加減乘除，不會算或質疑不能算只是因為沒學過。

* 有些人會問說，1就是1，怎麼可能會有1和0.999...兩種表示法? 這不是誰的錯，這是十進位的問題。把一個實數表示成十進位時可能有兩種以上的方式。事實上沒有一個進位法辦的到唯一表示每個數字。

* 有些人會覺得，0.999...是所有小於1中最大的數字，他們的差距是無限小。一個說法是，無限小不是數字是個概念。不過在實數當中確實有數字能"當作"無限小，那就是0。另一個說法是，因為實數有稠密性，如果0.999...和1是兩個不同的數字，那中間一定還有其他數字，你就不能說他是小於1的最大數字了。

6. 好的，最後是0.999... = 1的證明。如果以上都弄清楚，那隨便一個證明都能讓你相信這是對的，那肥鵝就寫最簡單的啦XD

因為 1 - 0.999... = 0.000... = 0　Q.E.D. (超級混)

覺得0.000...最後面會有個1在那邊是錯誤的想像，因為無窮小數沒有最後一位數，所以全都是0沒有1。不要先入為主覺得那個1存在。

7. 老實說，自稱肥鵝怪不習慣的，我沒有說我在學誰OW O

有任何問題請留言發問OW O

以上參考自wiki及其他相關影片。